武侠小说中的数学（三）——幻方、九宫八卦与河图洛书

封面图为河图与洛书

▍引子

经过前面两篇文章的讲解，我们介绍完了如何用增乘开方法来开任意次方：

接下来我们继续来看小说中的内容，情节并没有任何进展，郭黄二人还在瑛姑的小屋中，黄蓉和瑛姑开始讨论关于幻方的内容（说是讨论，其实是学霸黄蓉对学渣瑛姑的碾压），首先是瑛姑给黄蓉出了一道三阶幻方的问题，被黄蓉嘲笑说你这题太小儿科我根本不放在眼里，原文如下：

那女子沮丧失色，身子摇了几摇，突然一交跌在细沙之中，双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”

黄蓉心想：“我爹爹经营桃花岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。

那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世。”

那我们就来看一下瑛姑出的这道九宫图。

▍九宫图（三阶幻方）

瑛姑所出的题目呢其实就是，将1~9这9个数填入下面的三乘三的表格中，使得横、竖、斜相加之和都是十五。

可能很多同学觉得这个太简单了，我小学的时候就会做了，确实这个问题难度不大，不过黄蓉所说的口诀还是蛮有意思的，我们来看一下：

九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

啥意思咧，意思是将这个九宫图当成一个龟，2和4放在龟的肩膀上，6和8放在龟的脚上，左边是3，右边是7，头上是9，尾巴是1，5在中间。

需要注意的是，古代写字是从右往左写的，所以“二四为肩，六八为足”也是要按照从右往左写的顺序来的。

我们按照口诀来画到龟龟上，就是这样了：

把它整理到表格上：

其实这个图形，就是我们古代所说的洛书，就是封面图的这个样子：

这个图中小圆圈的数量就分别代表了所对应的数字；

据传说，有神龟从洛水中出现，背上驮着的就是洛书，伏羲氏得到它据此画出了八卦（河出图，洛出书，圣人则之。）

下面这个图就是神龟背上驮着洛书的样子：

▍四四图（四阶幻方）

接下来，黄蓉又继续往下介绍了关于幻方的内容：

那女子面如死灰，叹道：“只道这是我独创的秘法，原来早有歌诀传世。”黄蓉笑道：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇。就说四四图罢，以十六字依次作四行排列，先以四角对换，一换十六，四换十三，后以内四角对换，六换十一，七换十。这般横直上下斜角相加，皆是三十四。”那女子依法而画，果然丝毫不错。

我们来按照黄蓉所说的方法来填一下：

首先把数字从一到十六顺次放入表格中，

接下来将四个角分别对换位置：

再将里面的四个角互相交换位置：

这样我们所得到的幻方的横、竖、斜相加都是34啦~

▍九宫八卦图

说完这些，黄蓉又继续介绍：

黄蓉道：“那九宫每宫又可化为一个八卦，八九七十二数，以从一至七十二之数，环绕九宫成圈，每圈八字，交界之处又有四圈，一共一十三圈，每圈数字相加，均为二百九十二。这洛书之图变化神妙如此，谅你也不知晓。”举手之间，又将七十二数的九宫八卦图在沙上画了出来。

这个九宫八卦图看起来有点难，其实呢只需要圈内的数字相加起来相等就好了，并不需要横、竖、斜相加相等，所以也不是很难啦~

这一题小说里没有说如何来解，那我们就一起来解解看好了。

先按照书中所说的内容把图画出来：

如图所示，八个数围成一个圈，九宫格的九个圈加上交界处的四个圈一共十三个圈，我们要在这十三个圈中填入72个数，使得每个圈中的数字之和为292。

仔细观察这个图，我们能够发现我们可以把每斜着的两个数看做一组，

这样这个图就可以简化成这样：

只要我们能让这个图中每个中的数字相等，也就是每两个数的和相等，就能够满足题里的要求啦~

想让各组数相等，可就简单的多了， 只需要把从1到72这些数首尾配对、两两一组，即1与72一组，2与71一组，以此类推，再把各组数分别填入就好啦，我们最后得到的答案是这样的：

▍小结

总结一下，这次我们主要介绍了三阶幻方（洛书）、四阶幻方（四四图）以及九宫八卦图这三种幻方。

关于幻方，其实是有着通用的解法的，通常要分为奇数阶、单偶数阶和双偶数阶这三种情况来讨论，不过具体解法比较复杂篇幅有限，我们就以后有机会再来介绍好啦~

▍参考资料

[1] 金庸. 射雕英雄传[M]. 北京: 生活·读书·新知三联书店, 1994.

好玩的数学